Теория по математическому анализу
Оглавление
Тема 16: Линейные, Аффинные и Евклидовы пространства
Матрица перехода от одного базиса к другому, ее свойства. Выражение координат вектора в новом базисе через координаты в старом
Изоморфизм линейных пространств. Инвариантность размерности линейного пространства при изоморфизме. Теорема об изоморфизме векторных пространств одинаковой размерности. Следствие
Определение Аффинного пространства, связанного с линейным. Сдвиги на Аффинном пространстве
Определение Евклидова векторного пространства. Скалярное произведение и его свойства
Длина вектора в Евклидовом пространстве. Неравенство Коши—Буняковского
Угол между векторами. Теорема Пифагора. Неравенство треугольника
Тема 17: Ортогональные базисы в Евклидовых пространствах
Определение ортогональных и ортонормированных систем
Теорема о линейной независимости ортогональной системы
Координаты вектора в ортогональном базисе
Линейные подпространства Евклидовых пространств и ортогональные дополнения
Процесс Грама—Шмидта. Следствие о дополняемости ортогональной системы до ортогонального базиса
Тема 18: Аффинные преобразования Евклидовых пространств
Определение Аффинного пространства и эталонного Аффинного пространства \(\mathbb{R}_{Aff}^n\)
Аффинная система координат, координатный изоморфизм в эталонное пространство. Изоморфизм Аффинных пространств одинаковой размерности
Связь Аффинных координат точки в двух разных координатных системах
Определение Аффинного преобразования и его общий вид в произвольном базисе Аффинного пространства. Примеры
Свойства Аффинных преобразований. Группа \(A(n)\). Подгруппа собственных преобразований
Плоскости и прямые в Аффинном пространстве. Параллельные плоскости. Критерий Аффинного преобразования. Лемма о геометрических свойствах Аффинного преобразования
Метрика Аффинного пространства в случае, когда ассоциированное с ним векторное пространство Евклидово. Теорема об основном свойстве Аффинного преобразования
Тема 19: Кватернионы
Определение кватерниона, кватернионные единицы
Сложение и умножение кватернионов, некоммутативность умножения
Сопряженные кватернионы, модуль кватерниона
Группа единичных кватернионов
Скалярная и векторная часть кватернионов
Скалярное и векторное произведение в пространстве кватернионов-векторов
Описание вращения трёхмерного пространства в терминах кватернионов модуля один
Связь произведения матриц вращения с произведением соответствующих кватернионов
Тема 20: Первообразная и неопределенный интеграл
Определение первообразной, общий вид первообразной, обозначение неопределенных интегралов, примеры
Основные свойства операции интегрирования
Таблица неопределенных интегралов
Формула интегрирования по частям, примеры
Замена переменной интегрирования, примеры
Интегрирование рациональных функций, примеры
Тема 21: Определенный интеграл
Разбиения промежутка: узлы, сетка, свойства разбиений
Интегральные суммы Дарбу и Римана
Определение Интеграла Римана. Пример: интеграл ступенчатой функции. Теорема об ограниченности интегрируемой по Риману функции
Критерий Римана интегрируемости функции.
Колебания функции и критерий Римана интегрируемости в терминах колебаний
Мелкость разбиения. Теорема об интеграле Римана как пределе сумм Дарбу со стремящейся к нулю мелкостью. Следствие
Эквивалентность двух определений интеграла Римана
Сохранение интегрируемости при переходе к меньшему промежутку
Сохранение интегрируемости при переходе к объединению промежутков
Наследование свойства интегрируемости модулем функции
Тема 23: Свойства определенных интегралов и интегрируемых функций
Свойства определённых интегралов
Достаточные признаки интегрируемости функций
Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
Интегральная теорема о среднем
Интеграл по ориентированному промежутку. Интеграл с переменным верхним пределом: определение, непрерывность, оценка приращения
Производная по верхнему пределу интегрирования. Следствия
Формула Ньютона-Лейбница. Примеры и следствия
Формула интегрирования по частям для определенных интегралов
Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
Тема 24: Несобственные интегралы
Определение несобственного интеграла: интеграл по неограниченному интервалу, интеграл от неограниченной функции. Несобственные интегралы с двумя особыми пределами интегрирования. Интегрирование степенных особенностей
Свойства операции несобственного интегрирования. Примеры интегрирования. Примеры вычисления несобственных интегралов
Критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции. Признак совместной сходимости. Следствие. Функции сравнения, сравнения со степенными функциями. Пример
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Лемма о сходимости абсолютно сходящихся интегралов. Условно сходящиеся несобственные интегралы
Признаки Дирихле и Абеля. Примеры
Тема 25: Числовые ряды
Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Сумма ряда
Необходимое условие сходимости ряда
Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши сходимости ряда
Ряды с неотрицательными членами: критерий сходимости, признак сравнения, теорема о совместной сходимости. Примеры. Гармонический ряд. Эйлерова постоянная
Признак сходимости Коши. Следствие: признак Коши в предельной форме. Примеры. Признак сходимости Даламбера. Следствие: признак Даламбера в предельной форме. Примеры
Интегральный признак сходимости монотонно убывающей числовой последовательности. Пример
Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
Тема 26: Ряды Фурье
Периодические функции и гармонический анализ
Ортогональные и ортонормированные системы функций
Ряды Фурье по ортогональным системам функций
Определение тригонометрического ряда Фурье
Тема 27: Тригонометрические ряды Фурье
Комплекснозначная форма тригонометрических рядов Фурье. Частичные суммы. Стандартная тригонометрическая система в комплексной форме
Интегральные представления частичных сумм. Ядра Дирихле. Свойство равномерной ограниченности интегралов от ядер Дирихле
Носитель функции, финитные функции, ступенчатые функции. Теорема об аппроксимации абсолютно интегрируемых функций финитными ступенчатыми функциями
Теорема о непрерывности первообразной абсолютно интегрируемой функции
Теорема Римана об осцилляции
Теорема о стремлении к нулю коэффициентов Фурье абсолютно интегрируемой функции
Лемма о связи коэффициентов Фурье непрерывной периодической функции и ее первой производной
Обобщение формулы Ньютона-Лейбница. Теорема о связи коэффициентов Фурье кусочно непрерывной функции и ее кусочно непрерывной производной
Теорема об асимптотике коэффициентов Фурье функции, имеющей кусочно непрерывную и абсолютно интегрируемую производную. Следствие об асимптотике коэффициентов Фурье дважды дифференцируемых функций
Признак Липшица сходимости тригонометрических рядов
Тема 28: Интеграл Фурье
Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье
Интегралы Фурье абсолютно интегрируемых функций
Локально интегрируемые функции. Интеграл в смысле главного значения. Пример
Признак Дини сходимости интеграла Фурье. Представление функции интегралом Фурье
Комплексная форма интеграла Фурье
Тема 29: Преобразование Фурье
Образы и прообразы Фурье
Свойства преобразований Фурье
Косинус-и синус-преобразования Фурье. Примеры
Образ Фурье производной и производная образа Фурье. Следствие
Пространство S быстро убывающих функций. Равенство Парсеваля
Тема 30: Теорема Котельникова
Аналоговые сигналы, отсчеты, дискретизация и интерполяция сигнала. Потеря информации
Пространство \(L_1(\mathbb{R})\) и \(L_2(\mathbb{R})\) на числовой прямой. Преобразование Фурье и равенство Планшереля. Функции ограниченного спектра. Ширина спектра
Теорема Котельникова для функций из \(L_1(\mathbb{R})\) и \(L_2(\mathbb{R})\). Ряд Котельникова. Период и частота дискретизации
Неулучшаемость условия на период T отсчетов: пример
Тема 31: Пространство интегрируемых с квадратом на промежутке функций
Определение и структура пространства \(L_{2}(\Delta)\). Неравенство Коши-Буняковского. Сходимость.
Неравенство Бесселя и свойство минимальности коэффициентов Фурье
Полные в \(L_{2}(\Delta)\) системы функций
Ряды Фурье функций из \(L_{2}(\Delta)\). Равенство Парсеваля.
Тема 32: Вводные понятия теории функций многих переменных
Определение функции двух переменных, ее график, сужение. Сложные функции двух переменных.
Частные производные: определение, примеры, обозначения.
Расстояние в \(\mathbb{R}^{n}\), окрестности точек в \(\mathbb{R}^{n}\) (шаровые и прямоугольные).
Пределы последовательностей точек в \(\mathbb{R}^{n}\). Сходящиеся последовательности и фундаментальные последовательности.
Фундаментальные (сходящиеся в себе последовательности). Полнота \(\mathbb{R}^{n}\). Стремящиеся к бесконечности последовательности точек.
Тема 33: Пределы, непрерывность и дифференцируемость функций многих переменных
Проколотые окрестности точки в \(\mathbb{R}^{n}\). Предельные точки множеств в \(\mathbb{R}^{n}\). Предел функции в точке. Бесконечно большие.
Кривые в \(\mathbb{R}^{n}\). Предел функции по направлению. Пределы сумм, разностей, частных и произведений функций. Предел функции на бесконечности.
Определение непрерывных в точке функции и отображения. Непрерывность композиции непрерывных отображений.
Определение дифференцируемой в точке функции, непрерывность дифференцируемой в точке функции и существование ее частных производных.
Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости
Тема 34: Дифференцируемые функции многих переменных
Полный дифференциал функции двух переменных и достаточное условие ее дифференцируемости.
Определение дифференцируемой в точке функции многих переменных и ее дифференциала первого порядка.
Достаточное условие дифференцируемости. Правило дифференцирования сложной функции. Свойство инвариантности формы полного дифференциала.
Определение касательной плоскости к поверхности в трехмерном пространстве. Критерий существования касательной плоскости в точке. Уравнение касательной плоскости.